ECUACIONES E
INECUACIONES: PRIMER GRADO, SEGUNDO GRADO Y POLINÓMICAS
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vídeos de matemática secundaria:
VÍDEOS DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER, SEGUNDO GRADO Y POLINÓMICAS
ECUACIONES DE PRIMER
GRADO
1) Planteamiento de ecuaciones, del
lenguaje escrito al lenguaje matemático: VÍDEO
2) Cómo resolver una
ecuación de primer grado: VÍDEO
Vídeos de ecuaciones de primer grado
Ecuación de primer grado ejercicio 1: https://youtu.be/nBJ_6QQtT7U
Ecuación de primer grado ejercicio 2: https://youtu.be/EPlFDP71yAw
Ecuación de primer grado ejercicio 3: https://youtu.be/4YOd4nvW_jM
Ecuación de primer grado ejercicio 4: https://youtu.be/NVJpDCzgLjM
Ecuación de primer grado ejercicio 5: https://youtu.be/TXAfllxBClI
Ecuación de primer grado ejercicio 6: https://youtu.be/lRy0TKbUdaY
Vídeos de ecuaciones de primer grado
Ecuación de primer grado ejercicio 1: https://youtu.be/nBJ_6QQtT7U
Ecuación de primer grado ejercicio 2: https://youtu.be/EPlFDP71yAw
Ecuación de primer grado ejercicio 3: https://youtu.be/4YOd4nvW_jM
Ecuación de primer grado ejercicio 4: https://youtu.be/NVJpDCzgLjM
Ecuación de primer grado ejercicio 5: https://youtu.be/TXAfllxBClI
Ecuación de primer grado ejercicio 6: https://youtu.be/lRy0TKbUdaY
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
1) Ecuación de segundo grado:
discriminante y casos: VÍDEO
2) Ecuación de segundo
grado: VÍDEO
3) Cómo completar cuadrados
(1): VÍDEO
4) Cómo completar cuadrados
(2): VÍDEO
NUEVO (ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO)
4) Ecuación de segundo grado
con raíces complejas: VÍDEO
ECUACIÓN
POLINÓMICA
1)
Ecuación polinómica: VÍDEO
INECUACIÓN DE
PRIMER GRADO
1) Inecuación de primer grado con
una incógnita: VÍDEO
INECUACIÓN DE
SEGUNDO GRADO
1)
Inecuación de segundo grado – método didáctico: VÍDEO
2) Inecuación
de segundo grado: VÍDEO
1.
ECUACIÓN
Una ecuación es
una igualdad que sólo se verifica o satisface para determinados valores de sus
incógnitas.
PROPIEDADES
Estas propiedades se conocen con el nombre de
teoremas nos servirán para resolver las ecuaciones.
a)
Si a ambos miembros de una igualdad se le suma una misma cantidad la igualdad
se mantiene.
b)
Si en ambos miembros de una igualdad
cancelamos una misma cantidad la igualdad se mantiene.
c)
Si a ambos miembros de una igualdad lo multiplicamos por una misma cantidad la
igualdad se mantiene.
d) Si en ambos miembros de
una igualdad cancelamos una misma cantidad la igualdad se mantiene.
Los cuatro
teoremas que hemos mencionado no son los únicos para resolver una ecuación, es
necesario aplicar los axiomas de igualdad, los axiomas de adición y multiplicación
de los números reales y otros teoremas.
2. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA
INCÓGNITA
Son aquellas ecuaciones que presentan la siguiente forma: ax + b = 0
COMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON
UNA INCÓGNITA
1.- Se suprimen
los signos de agrupación o colección si es que hubiera, efectuando las
operaciones que se presenten.
2.- Se
efectúa de tal manera que la variable x quede con signo positivo, preferentemente
en el primer miembro. Aplicando las reglas
y/o axiomas.
3.- Las
constantes se pasan al miembro donde no está la variable. Es decir, al segundo
miembro. Aplicando las reglas ya mencionadas.
4.-Se
reducen los términos semejantes y se opera las constantes para luego despejar
la incógnita o variable.
Ejemplo:
Solución
Calculamos
el m.c.m. de los denominadores
m.c.m.(3;4;2)
= 12
Multiplicamos
a todos los términos de la ecuación por el m.c.m., en este caso 12.
VÍDEO DE ECUACIÓN DE PRIMER GRADO EN YOU TUBE:
3. SISTEMA DE ECUACIONES
SISTEMA DE ECUACIONES DE
PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES
ax + by = c
....................Ecuación (1)
dx + ey = f
.....................Ecuación (2)
Un
sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables se resuelve por los
métodos: reducción, sustitución, igualación, Cramer, Gauss-Jordan etc.
Ejemplo:
Soluciones:
A) MÉTODO
DE REDUCCIÓN
Multiplicamos a la
ecuación (2) por (-2)
B) MÉTODO
DE SUSTITUCIÓN
Despejamos la
variable “x” en la ecuación (2)
Solución:
Multiplicar a
los términos de la ecuación (1) por el m.c.m.(4;5) = 20
Multiplicar a
los términos de la ecuación (2) por el m.c.m.(3;4) = 12
Se tiene:
VÍDEO RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR GAUSS JORDAN - YOU TUBE:
https://www.youtube.com/watch?v=n7BrtcEQwSE
https://www.youtube.com/watch?v=n7BrtcEQwSE
4. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Toda ecuación que se puede reducir a la forma
general:
Es necesario determinar el discriminante de una
ecuación de segundo grado para determinar que tipo de raíces tiene, complejas o
reales.
RESOLUCIÓN
DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Para resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita existen
varios métodos. Toda ecuación de segundo grado con una incógnita tiene dos
soluciones o dos raíces.
A) MÉTODO DEL ASPA
Si calculamos el discriminante de la ecuación de segundo grado y el
resultado es 0 (cero) o es un número que tiene raíz cuadrada exacta, entonces,
se puede resolver por el método del aspa, en caso contrario no es posible
resolver por este método.
Para resolver una ecuación de segundo grado por el método del aspa, se
factoriza el polinomio aplicando el método del aspa simple. Luego, cada factor
se iguala a cero (0), seguidamente se despeja la variable. Los dos resultados
obtenidos son el conjunto solución o raíces de la ecuación.
B) LA FÓRMULA GENERAL O FÓRMULA CUADRÁTICA
Cuando una ecuación de
segundo grado no es posible resolver por el método del aspa, recurrimos a la
fórmula general o fórmula cuadrática. Es decir cuando se obtiene como
discriminante un número diferente de 0 (cero) o cuando este número no tiene
raíz cuadrada exacta.
Aplicando este método es
posible resolver cualquier ecuación de segundo grado.
Ejemplo:
C) COMPLETANDO CUADRADOS
Para resolver por este
método, el polinomio de segundo grado se transforma hasta convertirlo en un
trinomio cuadrado perfecto, luego se despeja la variable “x”.
Ejemplo:
5.
ECUACIÓN POLINÓMICA
NÚMERO
DE RAÍCES DE UN POLINOMIO
TEOREMA
FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Todo polinomio P(x) de
grado mayor o igual que 1, tiene por lo
menos una raíz, puede ser real o compleja.
Todo polinomio de grado “n” tiene “n” raíces
Ejemplo:
Resuelve la ecuación
polinómica x3 + 6x2 + 3x -10 = 0
Solución:
MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS
Se utiliza para
resolver ecuaciones polinómicas que
aceptan como factores a binomios de la forma ax + b, basándose en el principio
de la división algebraica, si el polinomio se anula para x = a, entonces un
factor será (x – a).
Ordenamos en
forma decreciente y completamos el polinomio.
Resolvemos como
el método de Ruffini, probamos con los divisores del último término, es
decir 10: ±1; ±2; ±5; ±10. En este caso
cumple con el número -2
Se tiene un
nuevo polinomio de menor grado. Se continúa como en el caso anterior. Pero esta
vez con los divisores de 5: ±1; ±5. Por ser el último coeficiente.
Ahora cumple con
1. Se continúa:
Los resultados:
- 2; 1 y – 5 son los valores que toma “x”
Es decir el
conjunto solución es {- 2; 1; - 5}
RAÍCES
RACIONALES DE UN POLINOMIO
TEOREMA DE
GAUSS
Dado un polinomio de
grado “n” con coeficientes enteros, para calcular las raíces racionales se
considera como “p” a los divisores del término independiente y como “q” a los
divisores del coeficiente del primer término. Entonces las raíces se obtienen
al dividir p entre q.
DIRECCION
ELECTRONICA DE VIDEOS EN YOU TUBE
1) Ecuación de segundo
grado:
2) Inecuación de segundo
grado:
3) Ecuación polinómica:
ACTIVIDAD
DE APRENDIZAJE Nro. 01
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
Resuelve la ecuación:
SISTEMA
DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Resuelve el sistema de ecuaciones:
ECUACIONES
DE SEGUNDO GRADO
Calcula el
discriminante de cada una de las ecuaciones de segundo grado, interpreta que
tipo de raíces tendría cada ecuación y calcula las raíces:
Calcula los valores de “x” en:
Calcula las
raíces de las ecuaciones completando cuadrados:
11) Calcula
el conjunto de valores de m para que la siguiente ecuación no tenga soluciones
reales: (m+5)x2 + 3mx - 4(m-5) = 0
12) Determina el conjunto de valores de k para que la ecuación x2+kx=2
tenga dos raíces, una de las cuales sea
– 2.
ECUACIÓN POLINÓMICA
Calcula las
raíces de las ecuaciones:
13) 6x3
+ x2 - 5x - 2=0 14)
20x3 + 24x2 - 11x - 3=0
6.
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE
Una
inecuación de primer grado con una variable es aquella que tiene una sola
variable (incógnita) con exponente 1.
Estas
inecuaciones son de la forma:
ax + b >0 ;
ax + b <0 ; ax +
b ≥0 ;
ax + b ≤0
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES:
Ejemplo:
Resuelve: 3x – 2
≥ 4
Solución
– 2 del primer
miembro lo pasamos al segundo miembro como 2
3x ≥ 4 + 2
3x ≥ 6
3 del primer
miembro está multiplicando a x, entonces, pasa al segundo miembro dividiendo
Ejemplo:
Solución
Para transformar
los coeficientes fraccionarios o racionales en números enteros, calculamos el
m.c.m.(3,2;5) = 30
Multiplicamos
los términos de la inecuación por 30.
Multiplicando a cada miembro de la inecuación
por -1, cambian de signo ambos miembros, además cambia el sentido de la
desigualdad.
7.
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Una inecuación de segundo grado con una incógnita
es de la forma:
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES
DE SEGUNDO GRADO
Se siguen los siguientes pasos:
a)
Se
factoriza el polinomio utilizando cualquier método, luego cada factor se iguala
a cero, para luego despejar la variable, obteniendo de esta manera los puntos
críticos. Si se aplica la fórmula general, entonces en forma directa se obtiene
los puntos críticos.
b)
Se
traza la recta numérica real, en esta se ubican los puntos críticos.
c)
Si
la desigualdad o inecuación es > ó
< , los puntos críticos son abiertos.
d)
Si
la desigualdad o inecuación es ≤ ó ≥, los puntos críticos son cerrados.
e)
La
recta real ha sido dividida en tres partes o intervalos, empezamos del lado
derecho y anotamos en cada parte o intervalo los signos + y - en forma ordenada.
f) Si el sentido de la desigualdad es < ó ≤ se
elige el intervalo que lleva el signo (-).
g) Si
el sentido de la desigualdad es > ó ≥ se eligen los intervalos que llevan el
signo (+).
Ejemplo:
Resuelve la inecuación: x2
+ x – 6 ≥ 0
Solución
Factorizando el polinomio
se tiene
(x + 3) (x – 2) ≥ 0
Se iguala cada factor a
cero (0) y se despeja la variable “x”
x + 3 = 0 x
– 2 = 0
x = -
3 x = 2
Los valores obtenidos se llaman puntos críticos:
VÍDEO INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO - YOU TUBE
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro.
02
Resuelve las siguientes inecuaciones:
8.
INECUACIONES POLINÓMICAS
Una inecuación polinómica se resuelve de acuerdo a
la naturaleza de sus raíces.
Ejemplo:
Determina
el conjunto solución de (x+3)(x-1)2(x+5)≤0
Solución
Se calcula los puntos críticos de cada factor, es
decir, se iguala cada factor a cero(0).
Los puntos críticos se ubican en la recta real: si
la desigualdad es > ó < son abiertos y si la desigualdad es ≤ ó ≥ son
cerrados.
Se trazan curvas, desde el lado derecho hacia la
izquierda, tomando como referencia para
estas los puntos críticos.
El número uno (1) no es considerado para el trazo
de la curva porque esta proviene de un factor que tiene exponente par.
Concluimos que cuando el o los puntos críticos provienen de un factor que tiene
exponente par, estos no se toman en cuenta para el trazo de la curva.
Luego, a partir del lado derecho se codifican con
los símbolos + y – alternando hasta cubrir el último intervalo o curva.
El resultado final puede estar conformado por los
intervalos que tienen el código + o por los intervalos que tienen el código -.
Esto depende del sentido de la desigualdad. Si la desigualdad es:
> ó ≥ se
eligen los intervalos que llevan el código +
< ó ≤ se
eligen los intervalos que llevan el código –
En nuestro ejemplo el sentido de la desigualdad es ≤,
por tanto, elegimos el intervalo con código –
Pero no debemos olvidar, los puntos críticos que no
se tomaron en cuenta para el trazo de las curvas al final, deben ser evaluados.
Si el punto crítico es cerrado se toma en cuenta y si el punto crítico es
abierto entonces no se toma en cuenta.
C.S. =[-5; -3]U {1}
9. INECUACIÓN FRACCIONARIA
Solución:
Se
trabaja como en el caso de las inecuaciones polinómicas, pero esta vez, los
puntos críticos que se obtengan del numerador pueden ser abiertos o cerrados y
dependerán de la desigualdad, pero, los puntos críticos que provienen del
denominador siempre serán abiertos.
En
nuestro ejemplo los puntos críticos son: x =-4 (cerrado), x =-3 (abierto) y
x = 5 (cerrado)
Después
de procesar como en el caso anterior se obtienen el siguiente resultado: C.S. =
á-a ; -4] U á-3;+ añ
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro.
03
Resuelve las siguientes inecuaciones:
Vídeo N° 1:
Ecuación de primer grado: https://youtu.be/pXPSXpCdYo8
Resuelve:
1) x - 5 = 2
2) - x + 1 = 3
Vídeo N° 2:
Ecuación de primer grado: https://youtu.be/huqlrQjX9Ek
Resuelve:
1) 2 x - 1 = x - 2
2) 3 x - 3 = 4 x + 1
Vídeo N° 3:
Ecuación de primer grado: https://youtu.be/AsZAqOhFQZM
Resuelve:
1) 5 x + 1 = 3 x - 4
2) 7 x - 3 = 9 x + 5
Vídeo N° 4:
Ecuación de primer grado: https://youtu.be/SgRpjfvFrIw
Resuelve:
1) 2/3 x - 1/2 = x + 3/4
2) 4/5 x + 3/4 = 1/2 x - 1/3
Vídeo N° 5:
Ecuación de primer grado: https://youtu.be/g9PNPdDaRI0
Resuelve:
- ( 3 x + 5 ) = ( x + 7 ) -
2
Vídeo N° 6:
Ecuación de primer grado: https://youtu.be/g2NGBKBq5Tw
Resuelve:
( 2 x - 6 ) - x = - ( - 4x
+ 1 ) + 5
Vídeo N° 7:
Ecuación de primer grado: https://youtu.be/emy5t8DFxzA
Resuelve:
1) 3 ( 2 x - 1 ) = 2 ( 5x +
6 )
2) - 5 ( 3 - 4 x ) = - 2 (
3x + 1 )
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