LÓGICA PROPOSICIONAL, (Enunciado, proposición, enunciado abierto, conectivos u operadores lógicos, clases de proposiciones lógicas y operaciones con proposiciones)


 
                                                                                                                                       
LÓGICA PROPOSICIONAL

GUILLERMO QUIÑONES DIAZ

  

1.          LOGICA PROPOSICIONAL

El ser humano en la vida diaria, se comunica con sus semejantes a través de un lenguaje determinado (oral, escrito,..., etc.) por medio de las denominadas frases u oraciones, estas pueden tener diferentes significados pero siempre van a resumirse a las formas de verdaderas o falsas, siendo este el precedente fundamental para el desarrollo del pensamiento humano. Lo importante en el presente estudio es el hecho de que, a partir de los enunciados (frases u oraciones) y de acuerdo a su significado es posible establecer una proposición y a partir de un conjunto de estas podemos llegar a una conclusión, siendo la ciencia encargada del estudio de estas, la lógica.

1.1.     ENUNCIADO.- Denominamos así a toda frase u oración.
Ejemplos:
1)       Prohibido fumar.
2)         x+ y≥9
3)       Tribunal en Lima verá denuncias sobre Ancash
4)       4x – 1= – 5
5)       ¿Qué hora es?
6)       Fallo contra megacomisión enfrenta al Poder Judicial y al Congreso
7)       Él es estudiante de la facultad de ciencias Administrativas y Contables
8)       - 6,78 > 1,43
9)       El desempleo bajó levemente en febrero
10)   ¡Auxilio!
11)   Deténgase.
12)   Ollanta Humala no es el presidente del Perú.
13)   Paolo guerrero es jugador de fútbol
14)   ¿Dónde estabas?
15)   Prohibido hacer ruido
16)    Juez anula todos los informes que acusan a García



1.2.     PROPOSICIÓN.- Una proposición es un enunciado que tiene la propiedad de ser verdadera (V)  o falsa (F), pero no ambas simultáneamente.
Representación simbólica: p, q, r, s, t,..., etc.
Ejemplos:


REPRESENTACIÓN
SIMBÓLICA

PROPOSICIÓN
VALOR DE VERDAD
p:
El pentágono tiene cuatro lados
F
r:
Mario Vargas Llosa escribió conversación en la catedral
V
s:
Ica es la región más afectada por el terremoto del   2 007
V
t:
El parque de la identidad se encuentra ubicado en Chilca
F
p:
- 4 + 3 = 7
F
r:
3,56 > 0,099
V


 1.3. EXPRESIONES QUE NO SON PROPOSICIONES   LÓGICAS.-     
Son las expresiones que indican orden, advertencia, saludo, exclamación  o interrogación. Es decir, estas expresiones sólo se quedan como enunciados.
          Ejemplos:
-      ¡Buenos días!.
-      ¿Quién tocó la puerta?
-      No faltes.
-      ¿Así se llaman esas criaturas?
-      ¡Hola, Harry!
-      ¿Qué edad tienes?
-      Prohibido fumar.
-      ¡Viva la matemática!

1.4. ENUNCIADOS ABIERTOS.-
 Los enunciados que usan las palabras “el”, “ella” o las letras x, y, z, ... ,  etc. No tienen la propiedad de ser verdaderos o falsos, es decir, no son proposiciones. Pero, si a estas palabras o letras se les asigna un determinado objeto o valor, llamado constante, el resultado es una proposición. A este tipo de enunciados se les denomina enunciados abiertos.
Ejemplos:
-          Ella es estudiante de contabilidad
-          x – 3 > 7
-          5x + 3y = 2
Si en el primer ejemplo reemplazamos ella por Meredditt, se tiene, “Meredditt es estudiante de contabilidad”, que es una proposición donde su valor de verdad es V ó F dependiendo de que si Meredditt sea o no estudiante de contabilidad.
Si en el segundo ejemplo “x” toma un valor menor o igual que 10 la proposición es falsa y si “x” toma un valor mayor a 10 la proposición es verdadera.
En el tercer ejemplo las variables o letras “x” , “y” pueden tomar infinitos valores para que el valor de verdad de la ecuación  sea verdadera o falsa.

2.          CONECTIVOS U OPERADORES LÓGICOS:
Los conectivos lógicos son símbolos que enlazan proposiciones simples o atómicas, sin formar parte de ellas: estos símbolos también toman el nombre de operadores.
Los conectivos lógicos que usamos en matemática son:

LENGUAJE COLOQUIAL
LENGUAJE
SIMBÓLICO
NOMBRE DEL OPERADOR
no
~
La negación
y
 Ù
La conjunción
o
Ú
La disyunción inclusiva
Si ... entonces ...
®
La condicional
... sí y sólo sí ...
«
La bicondicional
O bien ... o bien
D
La disyunción exclusiva

 D = Delta (Cuarta letra del alfabeto griego que corresponde a “d”  latina)

3.          CLASES DE PROPOSICIONES LÓGICAS:

3.1.     PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS
Cuando en ella  no existe conectivo u operador lógico alguno.
Ejemplos:
-          p:  El cuadrado tiene 5 lados                          
-          q:  3 x 4 = 12
-          r:  9 es múltiplo de 3

3.2.     PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES
Cuando en ella existe o está presente al menos un conectivo u operador lógico.

Ejemplos:
-          ~ p: 12 - 5 ≠ 9
-          q Ù  p: Rosario jugó, aunque estuvo lesionado
-          q ® p: Llegué tarde porque el carro se malogró

4.          OPERACIONES CON PROPOSICIONES:
Así como en aritmética y en álgebra se estudian operaciones entre números, en lógica  se estudian operaciones entre proposiciones.

4.1.  LA NEGACIÓN
La negación de una proposición p se escribe “~ p” y se lee “no p” ó “no es cierto que p” ó “es falso que p” y es otra proposición que niega que se cumpla p.

     p      
  ~ p  
     V
     F
     F
     V
Ejemplo:
Sea la proposición:   p: 4 x 5 = 20                       (V)
Su negación es: ~ p: no es cierto que 4 x 5 = 20   (F)
o se puede escribir: ~ p: 4 x 5 ≠ 20                     (F)
Simbólicamente: V( ~ p) = F


4.2.  LA CONJUNCIÓN
Dadas las proposiciones p, q, se simboliza “p Ù q”  y se lee “p y q”, sólo es verdadero cuando ambos son verdaderos, en los demás casos siempre es falso.
p      q
  p Ù q
V     V
     V
V     F
     F
F     V
     F
F     F
     F
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 7 es un número par                                                  (F)
q: 7  es menor que 5                                                    (F)
p Ù q: 7 es un número par y 7 es menor que 5              (F)
Simbólicamente: V(p Ù q) = F

NOTA: En toda proposición, las palabras: “pero”, “sin embargo”, “además”, “no obstante”, “aunque”, “a la vez”, etc. Equivalen al conectivo ” “


4.3.  LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA

Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p Ú q”  y se lee “p ó q”, sólo es falso cuando ambos son falsos, en los demás casos siempre es verdadero.
p      q
p Ú q
V     V
V
V     F
V
F     V
V
F     F
F
Ejemplo:
Dadas las proposiciones:
p: 4 < 7                                  (V)
q: 4 = 7                                  (F)
p Ú q: 4 < 7 ó 4 = 7                (V)
Simbólicamente: V(p Ú q) = V

4.4.  LA CONDICIONAL

Dadas dos proposiciones p, q se escribe
“p ® q” y se lee “si p entonces q” ó “p implica q” ó “p es suficiente para que q”, etc., sólo es falso cuando el primero es verdadero  y el segundo es falso, en los demás casos siempre es verdadero.
( p = antecedente   y    q = consecuente)

p      q
p ® q
V     V
V
V     F
F
F     V
V
F     F
V
Ejemplo:
p ® q : Si gano las elecciones entonces bajaré el precio de los combustibles
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 3 es un número primo                                                              (V)
q: 31 es un número par                                                                (F)
p ® q : si 3 es un número primo entonces 31 es un número   par  (F)
Simbólicamente: V(p ® q) = F


NOTA: En toda proposición las palabras:  “porque”, “puesto que”, “ya que”, “siempre que”, “cuando”, “si”, “cada vez que”, “dado que”, son conectivos que representan a la condicional. Se caracterizan porque después de cada uno de estos términos esta el antecedente

Ejemplo: 
No jugué porque llegué tarde
~p: no jugué                  (consecuente)
q: llegué tarde               (antecedente)
Simbólicamente: q ® p

4.5.  LA BICONDICIONAL

Dadas dos proposiciones p, q se escribe
 “p « q” y se  lee “p si y  solo si q”, es  verdadero cuando los valores de verdad son  iguales y es falso cuando los dos valores de  verdad son diferentes.
p      q
« q
V     V
V
V     F
F
F     V
F
F     F
V
Ejemplo: 
Sean las proposiciones:
p: 3 < 7                                                                        (V)
q: 3 + 5 < 7 + 5                                                           (V)
p « q: 3 < 7 si y solamente si 3 + 5 < 7 + 5                 (V)
Simbólicamente: V(p « q) = V

4.6.  LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Dadas las proposiciones p,  q  se escribe “p D q” y se lee “o  bien p o bien q”,  es falso si los  valores de verdad de las proposiciones son iguales y es  verdadero si los valores de verdad  de las proposiciones  son diferentes.
p      q
p   D  q
V     V
F
V     F
V
F     V
V
F     F
F
 
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 4 > 7                                                              (F)
q: 4 < 7                                                              (V)
D q: o bien 4 > 7 o bien 4 < 7                          (V)
Simbólicamente: V(p D q) = V

RESUMEN

p      q
p Ù q
Úq
p ® q
p « q
p D q
V     V
V
V
V
V
F
V     F
F
V
F
F
V
F     V
F
V
V
F
V
F     F
F
F
V
V
F






ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE  Nro. 01


1)   Escribe al lado derecho de cada una de estas expresiones, si es: enunciado, proposición o enunciado abierto.
(1)    ¡Hola que tal!
(2)    x² + 1 < 10
(3)    El lapicero es rojo pero no es amarillo
(4)    Él es administrador y contador
(5)    ¿Vives con tu primo?
(6)  El nuevo local de la facultad de ciencias administrativas y contables se encuentra en Chorrillos.
2)   Formula ejemplos de enunciados, proposiciones y enunciados abiertos. Cinco ejemplos de cada uno.
3)   Expresa en el lenguaje simbólico:
a)   No es cierto que, Ollanta Humala no es el presidente de Ecuador.
b)   Es falso que, Mayumi llegó tarde porque se quedó dormida.
c)   Paolo Guerrero llego tarde al partido pero jugó.
d)   Si hoy es miércoles entonces mañana no es martes
4)   Que diferencias y similitudes estableces entre una proposición simple y una proposición compuesta
5)   Determina los valores de verdad de las siguientes proposiciones:
a)   Es falso que, Paolo guerrero no es jugador del Sport Club Corinthians Paulista.
b)   20 es múltiplo de 4, pero, 7 es menor o igual que 10
c)   O 9 es mayor que 5 o es menor que 5.
d)   24 es múltiplo de 8 puesto que 24 es un número impar.
e)   Ollanta Humala no ganó las elecciones presidenciales de Perú con un 54 %.
f)    No es cierto que, Susana Villarán no fue revocada
g)   China moviliza sus tropas en apoyo a Corea del Norte porque es inminente  la III guerra mundial
h)   No es cierto que, Estados Unidos quiera atacar Siria porque quiere evitar el fin de su hegemonía.