OPERACIONES CON PROPOSICIONES: NEGACIÓN, CONJUNCIÓN, DISYUNCIÓN INCLUSIVA, LA CONDICIONAL, LA BICONDICIONAL Y LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

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1.           OPERACIONES CON PROPOSICIONES:

Así como en aritmética y en álgebra se estudian operaciones entre números, en lógica  se estudian operaciones entre proposiciones.

1.1.    LA NEGACIÓN

La negación de una proposición p se escribe “~ p” y se lee “no p” ó “no es cierto que p” ó “es falso que p” y es otra proposición que niega que se cumpla p.

p         ~ p        V      F      F      V

Ejemplo:

Sea la proposición:   p: 4 x 5 = 20                             (V)

Su negación es:       ~ p: no es cierto que 4 x 5 = 20   (F)

o se puede escribir: ~ p: 4 x 5 ≠ 20                           (F)

Simbólicamente: V( ~ p) = F

1.2.    LA CONJUNCIÓN

Dadas las proposiciones p, q, se simboliza “p Ù q”  y se lee “p y q”, sólo es verdadero cuando ambos son verdaderos, en los demás casos siempre es falso.

p      q   p Ù q V     V      V V     F      F F     V      F F     F      F

Ejemplo:

Sean las proposiciones:

p: 7 es un número par                                                      (F)

q: 7  es menor que 5                                                        (F)

p Ù q: 7 es un número par y 7 es menor que 5                      (F)

Simbólicamente: V(p Ù q) = F

NOTA: En toda proposición, las palabras: “pero”, “sin embargo”, “además”, “no obstante”, “aunque”, “a la vez”, etc. Equivalen al conectivo  ” Ù “

1.3.    LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA

Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p Ú q”  y se lee “p ó q”, sólo es falso cuando ambos son falsos, en los demás casos siempre es verdadero.

p      q p Ú q V     V V V     F V F     V V F     F F

Ejemplo:

Dadas las proposiciones:

p: 4 < 7                                    (V)

q: 4 = 7                                    (F)

p Ú q: 4 < 7 ó 4 = 7                    (V)

Simbólicamente: V(p Ú q) = V

1.4.    LA CONDICIONAL

Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p ® q” y se lee “si p entonces q” ó “p implica q” ó “p es suficiente para que q”, etc., sólo es falso cuando el primero es verdadero  y el segundo es falso, en los demás casos siempre es verdadero. ( p = antecedente   y    q = consecuente)

p      q p ® q V     V V V     F F F     V V F     F V

Ejemplo:

p ® q : Si gano las elecciones entonces bajaré el precio de los combustibles

Ejemplo:

Sean las proposiciones:

p: 3 es un número primo                                                                      (V)

q: 31 es un número par                                                                       (F)

p ® q : si 3 es un número primo entonces 31 es un número   par                (F)

Simbólicamente: V(p ® q) = F

NOTA: En toda proposición las palabras:  “porque”, “puesto que”, “ya que”, “siempre que”, “cuando”, “si”, “cada vez que”, “dado que”, son conectivos que representan a la condicional. Se caracterizan porque después de cada uno de estos términos esta el antecedente

Ejemplo: 

No jugué porque llegué tarde

~p: no jugué           (consecuente)

q: llegué tarde                  (antecedente)

Simbólicamente: q ® ~p

1.5.    LA BICONDICIONAL

Dadas dos proposiciones p, q se escribe  “p « q” y se  lee “p si y  solo si q”, es  verdadero cuando los valores de verdad son  iguales y es falso cuando los dos valores de  verdad son diferentes.

p      q p  « q V     V V V     F F F     V F F     F V

Ejemplo: 

Sean las proposiciones:

p: 3 < 7                                                                         (V)

q: 3 + 5 < 7 + 5                                                              (V)

p « q: 3 < 7 si y solamente si 3 + 5 < 7 + 5                         (V)

Simbólicamente: V(p « q) = V

1.6.    LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

Dadas las proposiciones p,  q  se escribe “p D q” y se lee “o  bien p o bien q”,  es falso si los  valores de verdad de las proposiciones son iguales y es  verdadero si los valores de verdad  de las proposiciones  son diferentes.

p      q p   D  q V     V F V     F V F     V V F     F F

 

Ejemplo:

Sean las proposiciones:

p: 4 > 7                                                                (F)

q: 4 < 7                                                                (V)

p  D q: o bien 4 > 7 o bien 4 < 7                                (V)

Simbólicamente: V(p D q) = V