OPERACIONES CON PROPOSICIONES: NEGACIÓN, CONJUNCIÓN, DISYUNCIÓN INCLUSIVA, LA CONDICIONAL, LA BICONDICIONAL Y LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

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1.           OPERACIONES CON PROPOSICIONES:
Así como en aritmética y en álgebra se estudian operaciones entre números, en lógica  se estudian operaciones entre proposiciones.

1.1.    LA NEGACIÓN
La negación de una proposición p se escribe “~ p” y se lee “no p” ó “no es cierto que p” ó “es falso que p” y es otra proposición que niega que se cumpla p.

     p      
  ~ p  
     V
     F
     F
     V
Ejemplo:
Sea la proposición:   p: 4 x 5 = 20                             (V)
Su negación es:       ~ p: no es cierto que 4 x 5 = 20   (F)
o se puede escribir: ~ p: 4 x 5 ≠ 20                           (F)
Simbólicamente: V( ~ p) = F

1.2.    LA CONJUNCIÓN
Dadas las proposiciones p, q, se simboliza “p Ù q”  y se lee “p y q”, sólo es verdadero cuando ambos son verdaderos, en los demás casos siempre es falso.
p      q
  p Ù q
V     V
     V
V     F
     F
F     V
     F
F     F
     F
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 7 es un número par                                                      (F)
q: 7  es menor que 5                                                        (F)
p Ù q: 7 es un número par y 7 es menor que 5                      (F)
Simbólicamente: V(p Ù q) = F

NOTA: En toda proposición, las palabras: “pero”, “sin embargo”, “además”, “no obstante”, “aunque”, “a la vez”, etc. Equivalen al conectivo  ” Ù

1.3.    LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA

Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p Ú q”  y se lee “p ó q”, sólo es falso cuando ambos son falsos, en los demás casos siempre es verdadero.
p      q
p Ú q
V     V
V
V     F
V
F     V
V
F     F
F
Ejemplo:
Dadas las proposiciones:
p: 4 < 7                                    (V)
q: 4 = 7                                    (F)
p Ú q: 4 < 7 ó 4 = 7                    (V)
Simbólicamente: V(p Ú q) = V

1.4.    LA CONDICIONAL
Dadas dos proposiciones p, q se escribe
“p ® q” y se lee “si p entonces q” ó “p implica q” ó “p es suficiente para que q”, etc., sólo es falso cuando el primero es verdadero  y el segundo es falso, en los demás casos siempre es verdadero.
( p = antecedente   y    q = consecuente)

p      q
p ® q
V     V
V
V     F
F
F     V
V
F     F
V
Ejemplo:
p ® q : Si gano las elecciones entonces bajaré el precio de los combustibles
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 3 es un número primo                                                                      (V)
q: 31 es un número par                                                                       (F)
p ® q : si 3 es un número primo entonces 31 es un número   par                (F)
Simbólicamente: V(p ® q) = F

NOTA: En toda proposición las palabras:  “porque”, “puesto que”, “ya que”, “siempre que”, “cuando”, “si”, “cada vez que”, “dado que”, son conectivos que representan a la condicional. Se caracterizan porque después de cada uno de estos términos esta el antecedente

Ejemplo: 
No jugué porque llegué tarde
~p: no jugué           (consecuente)
q: llegué tarde                  (antecedente)
Simbólicamente: q ® ~p

1.5.    LA BICONDICIONAL
Dadas dos proposiciones p, q se escribe
 “p « q” y se  lee “p si y  solo si q”, es  verdadero cuando los valores de verdad son  iguales y es falso cuando los dos valores de  verdad son diferentes.
p      q
« q
V     V
V
V     F
F
F     V
F
F     F
V
Ejemplo: 
Sean las proposiciones:
p: 3 < 7                                                                         (V)
q: 3 + 5 < 7 + 5                                                              (V)
p « q: 3 < 7 si y solamente si 3 + 5 < 7 + 5                         (V)
Simbólicamente: V(p « q) = V

1.6.    LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Dadas las proposiciones p,  q  se escribe “p D q” y se lee “o  bien p o bien q”,  es falso si los  valores de verdad de las proposiciones son iguales y es  verdadero si los valores de verdad  de las proposiciones  son diferentes.
p      q
p   D  q
V     V
F
V     F
V
F     V
V
F     F
F
 
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 4 > 7                                                                (F)
q: 4 < 7                                                                (V)
D q: o bien 4 > 7 o bien 4 < 7                                (V)

Simbólicamente: V(p D q) = V